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>Les mathématiques appartiennent au domaine des sciences au même titre que la botanique, l'ingeniérie, la linguistique, la chimie entre autres ; elles décrivent les lois que nous pouvons observer se répéter dans la nature.
Contrairement aux sciences naturelles qui reposent sur l'observation du monde réel, les mathématiques prennent la forme d'un système formal muni d'une axiomatique (potentiellement contraire à l'intuition naturelle soit dit en passant) et de règles logiques. Bien qu'elles constituent le langage fondamental utilisé pour articuler toutes les autres disciplines scientifiques, elles ne répondent pas nécessairement à l'intuition commune.
Prenons par exemple le paradoxe de Banach Tarski: il stipule que l'on peut découper une boule en un nombre fini de morceaux qui, une fois rassemblés peuvent former deux boules identiques à la première. La démonstration passe par la construction d'ensembles non-mesurables, nécessitant l'axiome du choix. Ce dernier nous permet en effet de construire des ensembles en choisissant simultanément un élément dans chaque ensemble non vide d'un ensemble donné (plus précisément, étant donné un ensemble X d'ensembles non vides, il existe une fonction définie sur X, appelée fonction de choix, qui à chaque ensemble A associe un de ses éléments).
Je peux également prendre pour exemple les géométries non-euclidiennes qui, à défaut de ne pa